Σnxⁿ⁻¹ の和（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: Σnxⁿ⁻¹ の和（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$|x|<1$ とする．$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0$ を用いてよいものとして，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $|x|<1$ より $x\neq 1$ である．部分和を $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}$ とすると
\[ S_n-xS_n=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n \]
よって $S_n=\dfrac{1-x^n}{(1-x)^2}-\dfrac{nx^n}{1-x}$
$|x|<1$ より $x^n\to 0$，$nx^n\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{(1-x)^2}$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$．(1) で $x=\dfrac{1}{3}$ として
\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4} \]
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