Σnxⁿ⁻¹ の和（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: Σnxⁿ⁻¹ の和（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=1+2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots$ の和を求めよ．ただし，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0$ を用いてよい．
第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とし，$x=\dfrac{1}{2}$ とおく．
\[ S_n=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} \]
\[ xS_n=\phantom{1+{}}x+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n \]
辺々引くと
\[ (1-x)S_n=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n \]
$x=\dfrac{1}{2}$ を代入して
\[ \frac{1}{2}S_n=2\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}-\frac{n}{2^n} \]
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$，$\dfrac{n}{2^n}\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}S_n=2$
よって，和は $4$
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