項を打ち消す級数の部分和 S₂ₙ, S₂ₙ₋₁（B）

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする． (1) $S_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2^k}-\frac{1}{3^k}\right)=\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}-\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}$ よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $S_{2n-1}=S_{2n}+\dfrac{1}{3^n}$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n-1}=\frac{1}{2}$ よって，収束して和は $\dfrac{1}{2}$ (2) 第 $2k-1$ 項は $\dfrac{k}{2k-1}$，第 $2k$ 項は $-\dfrac{k+1}{2k+1}$ である． \[ S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{2k-1}-\frac{k+1}{2k+1}\right)=1-\frac{n+1}{2n+1}\to 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \] $S_{2n-1}=S_{2n}+\dfrac{n+1}{2n+1}=1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n-1}=1$ 極限が一致しないから，この級数は発散する．