項を打ち消す級数の部分和 S₂ₙ, S₂ₙ₋₁（A）

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする．項を括弧でくくってはいけないので，$S_{2n}$ と $S_{2n-1}$ を別々に調べる． (1) $S_{2n}=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}$ $S_{2n-1}=S_{2n}+\dfrac{1}{n+1}=1$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n}=\lim_{n\to\infty}S_{2n-1}=1$ であるから，収束して和は $1$ (2) 第 $2k-1$ 項は $\dfrac{k+1}{k}$，第 $2k$ 項は $-\dfrac{k+2}{k+1}$ である． \[ S_{2n}=\left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)=2-\frac{n+2}{n+1} \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n}=2-1=1$ $S_{2n-1}=S_{2n}+\dfrac{n+2}{n+1}=2$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n-1}=2$ $S_{2n}$ と $S_{2n-1}$ の極限が一致しないから，この級数は発散する．