2つの無限等比級数の和を分けて計算（B）

(1) $\dfrac{2^n+3^n}{6^n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ で，いずれも公比の絶対値が $1$ より小さい無限等比級数であるから \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}+\frac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \] (2) $\dfrac{4^{n+1}-3^n}{5^n}=4\left(\dfrac{4}{5}\right)^n-\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$ で，いずれも公比の絶対値が $1$ より小さい無限等比級数であるから，ともに収束して \[ \sum_{n=0}^{\infty}4\left(\frac{4}{5}\right)^n-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{4}{1-\dfrac{4}{5}}-\frac{1}{1-\dfrac{3}{5}}=20-\frac{5}{2}=\frac{35}{2} \]