2つの無限等比級数の和を分けて計算（A）

2 つの無限級数 $\sum a_n$，$\sum b_n$ が収束するとき，$\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$ である． (1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^n$ は，公比がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$，$-\dfrac{1}{3}$ の無限等比級数で，公比の絶対値が $1$ より小さいから，ともに収束する． $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=1$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^n=\frac{-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}=-\frac{1}{4}$ よって，和は $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{3^n+(-2)^n}{5^n}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^n+\left(-\dfrac{2}{5}\right)^n$ で，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^n$ は，公比の絶対値が $1$ より小さい無限等比級数であるから，ともに収束する． $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\dfrac{3}{5}}{1-\dfrac{3}{5}}=\frac{3}{2}$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^n=\frac{-\dfrac{2}{5}}{1+\dfrac{2}{5}}=-\frac{2}{7}$ よって，和は $\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{17}{14}$