各項を累乗した級数の和から a, r を決める（B）

和が $4$ であるから $a\neq 0$ であり，無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ が収束するから $|r|<1$ である． \[ \frac{a}{1-r}=4\ \cdots\text{①},\qquad \frac{a^3}{1-r^3}=\frac{64}{7}\ \cdots\text{②} \] ① より $a=4(1-r)$．② に代入して \[ \frac{64(1-r)^3}{1-r^3}=\frac{64}{7} \] $1-r^3=(1-r)(1+r+r^2)$ で，$|r|<1$ より $1-r\neq 0$ であるから，約分して整理すると $7(1-r)^2=1+r+r^2$ $6r^2-15r+6=0$ より $2r^2-5r+2=0$，$(2r-1)(r-2)=0$ $|r|<1$ より $r=\dfrac{1}{2}$．このとき $a=2$