各項を累乗した級数の和から a, r を決める（A）

和が $3$ であるから $a\neq 0$ であり，無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ が収束するから $|r|<1$ である． \[ \frac{a}{1-r}=3\ \cdots\text{①},\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=\frac{9}{2}\ \cdots\text{②} \] ② を ① で割ると，$1-r^2=(1-r)(1+r)$ より \[ \frac{a}{1+r}=\frac{3}{2}\ \cdots\text{③} \] ①，③ から $a=3(1-r)=\dfrac{3}{2}(1+r)$．よって $2-2r=1+r$ より $r=\dfrac{1}{3}$，$a=2$ $|r|<1$ を満たすから，$a=2$，$r=\dfrac{1}{3}$