角の内側でくり返しできる線分・円と無限等比級数（B）

(1) 円の中心は $\angle\mathrm{XOY}$ の二等分線上にある．半径 $r$ の円の中心を A とし，A から OX に下ろした垂線の足を H とすると，$\angle\mathrm{AOH}=30^\circ$ より \[ \mathrm{OA}=\frac{r}{\sin 30^\circ}=2r \] $C_n$，$C_{n+1}$ の中心をそれぞれ $\mathrm{A}_n$，$\mathrm{A}_{n+1}$ とすると，$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{A}_{n+1}$ はともに $\angle\mathrm{XOY}$ の二等分線上にあり，$\mathrm{A}_{n+1}$ は $\mathrm{A}_n$ より O に近いから $\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{OA}_n-\mathrm{OA}_{n+1}$ また，2 円が外接するから $\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}=r_n+r_{n+1}$ よって \[ \mathrm{OA}_n-\mathrm{OA}_{n+1}=r_n+r_{n+1} \quad\text{すなわち}\quad 2r_n-2r_{n+1}=r_n+r_{n+1} \] よって $r_{n+1}=\dfrac{1}{3}r_n$．$r_1=1$ であるから $r_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ (2) 面積の総和は，初項 $\pi$，公比 $\dfrac{1}{9}$ の無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\pi\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}$ であり，$\left|\dfrac{1}{9}\right|<1$ であるから収束して，その和は \[ \frac{\pi}{1-\dfrac{1}{9}}=\frac{9}{8}\pi \]