角の内側でくり返しできる線分・円と無限等比級数（A）

直角三角形 $\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2$ において $\angle\mathrm{P}_1\mathrm{OP}_2=30^\circ$ であるから \[ \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2=2\sin 30^\circ=1 \] また，$\angle\mathrm{OP}_2\mathrm{P}_1=90^\circ$ より $\angle\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2=60^\circ$．直角三角形 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$ で $\angle\mathrm{P}_2\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3=60^\circ$ であるから $\angle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3=30^\circ$ となり \[ \mathrm{P}_2\mathrm{P}_3=\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 \] どの $n$ についても，$\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$ と $\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$ は，一方が半直線 OX に，他方が半直線 OY に垂直であるから，2 直線 $\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$ のなす角は，2 直線 OX，OY のなす角 $30^\circ$ に等しい．ゆえに，直角三角形 $\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}$ において $\angle\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}=30^\circ$ である．よって，$n=1$ のときと同様にして $\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$ が成り立つ． よって，求める和は初項 $1$，公比 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の無限等比級数で，$0<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$ より収束して \[ \frac{1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{3}}=2(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3} \]