図形をくり返し内接させてできる面積の和（B）

1 辺の長さ $a$ の正三角形の高さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ である．正三角形の内接円の中心は重心と一致するから，内接円の半径は高さの $\dfrac{1}{3}$ で $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$ また，半径 $r$ の円に内接する正三角形の 1 辺の長さを $b$ とすると，円の中心は正三角形の重心と一致するから，$r$ は高さ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$ の $\dfrac{2}{3}$ で $r=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}b=\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ よって，半径 $r$ の円に内接する正三角形の 1 辺の長さは $\sqrt{3}\,r$ である． $T_n$ の 1 辺の長さを $a_n$ とすると，$C_n$ の半径は $\dfrac{a_n}{2\sqrt{3}}$ で \[ a_{n+1}=\sqrt{3}\cdot\frac{a_n}{2\sqrt{3}}=\frac{a_n}{2} \] $a_1=1$ であるから，数列 $\{a_n\}$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列で $a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ よって，$C_n$ の半径は $r_n=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ で，面積は \[ \pi r_n^2=\frac{\pi}{12}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \] これは初項 $\dfrac{\pi}{12}$，公比 $\dfrac{1}{4}$ の等比数列である．$\left|\dfrac{1}{4}\right|<1$ であるから，面積の総和を表す無限等比級数は収束して，総和は \[ \frac{\dfrac{\pi}{12}}{1-\dfrac{1}{4}}=\frac{\pi}{9} \]