図形をくり返し内接させてできる面積の和（A）

$S_n$ の 1 辺の長さを $a_n$ とする．$S_{n+1}$ の 1 辺は，$S_n$ の隣り合う 2 辺の中点を結ぶ線分で，直角をはさむ 2 辺が $\dfrac{a_n}{2}$ の直角二等辺三角形の斜辺であるから \[ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}a_n \] $a_1=1$ であるから，数列 $\{a_n\}$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列で $a_n=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$ (1) 面積 $a_n^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列である．$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$ であるから，面積の総和を表す無限等比級数は収束して，総和は $\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2$ (2) 周の長さ $4a_n$ は初項 $4$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列である．$0<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$ であるから，周の長さの総和を表す無限等比級数は収束して，総和は \[ \frac{4}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=4\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=8+4\sqrt{2} \]