循環小数を無限等比級数で分数にする（B）

(1) $0.\dot{7}=0.7+0.07+0.007+\cdots$ は，初項 $0.7$，公比 $0.1$ の無限等比級数であり，$|0.1|<1$ であるから収束して $0.\dot{7}=\dfrac{0.7}{1-0.1}=\dfrac{7}{9}$ (2) $2.\dot{1}0\dot{8}=2+(0.108+0.000108+\cdots)$．括弧内は初項 $0.108$，公比 $0.001$ の無限等比級数であり，$|0.001|<1$ であるから収束して \[ 2.\dot{1}0\dot{8}=2+\frac{0.108}{1-0.001}=2+\frac{108}{999}=2+\frac{4}{37}=\frac{78}{37} \] (3) $0.3\dot{6}=0.3+(0.06+0.006+\cdots)$．括弧内は初項 $0.06$，公比 $0.1$ の無限等比級数であり，$|0.1|<1$ であるから収束して \[ 0.3\dot{6}=\frac{3}{10}+\frac{0.06}{1-0.1}=\frac{3}{10}+\frac{1}{15}=\frac{11}{30} \]