循環小数を無限等比級数で分数にする（A）

(1) $0.\dot{4}\dot{5}=0.45+0.0045+0.000045+\cdots$ は，初項 $0.45$，公比 $0.01$ の無限等比級数であり，$|0.01|<1$ であるから収束して \[ 0.\dot{4}\dot{5}=\frac{0.45}{1-0.01}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11} \] (2) $0.1\dot{2}\dot{3}=0.1+(0.023+0.00023+\cdots)$．括弧内は初項 $0.023$，公比 $0.01$ の無限等比級数であり，$|0.01|<1$ であるから収束して \[ 0.1\dot{2}\dot{3}=\frac{1}{10}+\frac{0.023}{1-0.01}=\frac{1}{10}+\frac{23}{990}=\frac{99+23}{990}=\frac{122}{990}=\frac{61}{495} \]