無限等比級数が収束する x の範囲（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 無限等比級数が収束する x の範囲（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
無限級数 $x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots+x(1-x)^{n-1}+\cdots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ．また，その和を $f(x)$ とするとき，関数 $y=f(x)$ のグラフをかけ．
初項 $x$，公比 $1-x$ の無限等比級数である．
[1] $x=0$ のとき，すべての項が $0$ であるから収束し，和は $0$
[2] $x\neq 0$ のとき，収束する条件は $|1-x|<1$ すなわち $0<x<2$．このとき和は
\[ \frac{x}{1-(1-x)}=1 \]
よって，収束する範囲は $0\leqq x<2$ で
\[ f(x)=\begin{cases} 0 & (x=0) \\ 1 & (0<x<2) \end{cases} \]
グラフは下図のようになる．
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