無限等比級数の和の基本（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 無限等比級数の和の基本（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の無限等比級数の収束・発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $8-4+2-1+\cdots$
\item[(2)] $1+1.1+1.21+1.331+\cdots$
\item[(3)] $\sqrt{3}+1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots$
\end{enumerate}
(1) 初項 $8$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ で，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|<1$ であるから収束し，和は $\dfrac{8}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{16}{3}$
(2) 初項 $1$，公比 $1.1$ で $1.1>1$ であるから発散する．
(3) 初項 $\sqrt{3}$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で $0<\dfrac{1}{\sqrt{3}}<1$ であるから収束する．和は
\[ \frac{\sqrt{3}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3}{\sqrt{3}-1}=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2} \]
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