無限等比級数の和の基本（A）

初項 $a\ (\neq 0)$，公比 $r$ の無限等比級数は，$|r|<1$ のとき収束して和は $\dfrac{a}{1-r}$，$|r|\geqq 1$ のとき発散する． (1) 初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{3}$ で，$\left|\dfrac{1}{3}\right|<1$ であるから収束し，和は $\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$ (2) 初項 $2$，公比 $-\sqrt{2}$ で $|-\sqrt{2}|>1$ であるから発散する． (3) 初項 $\sqrt{2}+1$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ で，$0<\sqrt{2}-1<1$ であるから収束する．和は \[ \frac{\sqrt{2}+1}{1-(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}+1)(2+\sqrt{2})}{2}=\frac{4+3\sqrt{2}}{2} \]