第 n 項が0に近づかない級数の発散（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 第 n 項が0に近づかない級数の発散（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の無限級数が発散することを示せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}$
\item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$
\end{enumerate}
級数が収束するならば，第 $n$ 項は $0$ に収束する．よって，第 $n$ 項が $0$ に収束しないことを示せばよい．
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1\neq 0$ であるから，この級数は発散する．
(2) $\sqrt{n^2+n}-n=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1}\to\dfrac{1}{2}\neq 0$ であるから，この級数は発散する．
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