第 n 項が0に近づかない級数の発散（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 第 n 項が0に近づかない級数の発散（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の無限級数が発散することを示せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{3}{7}+\cdots+\frac{n}{2n+1}+\cdots$
\item[(2)] $1-1+1-1+\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots$
\end{enumerate}
無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束するならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ である．この対偶「$\{a_n\}$ が $0$ に収束しなければ，級数は発散する」を用いる．
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\dfrac{1}{n}}=\frac{1}{2}\neq 0$ であるから，この級数は発散する．
(2) 数列 $\{(-1)^{n-1}\}$ は振動し，$0$ に収束しないから，この級数は発散する．
（実際，部分和は $1,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots$ と振動する．）
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