部分和を求めて無限級数の和（B）

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする． (1) $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$ であるから \[ S_n=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{4}$ となり，収束して和は $\dfrac{1}{4}$ (2) $\log\dfrac{k+1}{k}=\log(k+1)-\log k$ であるから \[ S_n=(\log 2-\log 1)+(\log 3-\log 2)+\cdots+\{\log(n+1)-\log n\}=\log(n+1) \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$ であるから，発散する．