部分和を求めて無限級数の和（A）

第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする． (1) $\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ であるから \[ S_n=\frac{1}{2}\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ となり，収束して和は $\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ であるから \[ S_n=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1 \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$ であるから，発散する．