確率の漸化式を立てて求める極限（B）

$n+1$ 回投げて 1 の目の回数が偶数となるのは \begin{itemize} \item $n$ 回までで偶数回，$n+1$ 回目に 1 以外の目が出る \item $n$ 回までで奇数回，$n+1$ 回目に 1 の目が出る \end{itemize} のいずれかであるから（下図） \[ p_{n+1}=\frac{5}{6}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} \] 変形すると $p_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\left(p_n-\dfrac{1}{2}\right)$ $p_1=\dfrac{5}{6}$ より，数列 $\left\{p_n-\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項 $p_1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$，公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列であるから \[ p_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1}{2}$