確率の漸化式を立てて求める極限（A）

$n+1$ 秒後に A にいるのは，$n$ 秒後に A 以外の頂点にいて，そこから A に移動する場合であるから \[ p_{n+1}=\frac{1}{2}(1-p_n) \] $\alpha=\dfrac{1}{2}(1-\alpha)$ を満たす $\alpha=\dfrac{1}{3}$ を用いて変形すると \[ p_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right) \] 1 秒後に P は A 以外の頂点にいるから $p_1=0$ であり，数列 $\left\{p_n-\dfrac{1}{3}\right\}$ は初項 $p_1-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列である．よって \[ p_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \] すなわち \[ p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \] $\left|-\dfrac{1}{2}\right|<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1}{3}$