|aₙ−α| を評価して極限を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: |aₙ−α| を評価して極限を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{3a_n+4}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|a_{n+1}-4|\leqq\dfrac{1}{2}|a_n-4|$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 漸化式から $a_n>0$ である．
\[ |a_{n+1}-4|=\left|\sqrt{3a_n+4}-4\right|=\frac{|3a_n+4-16|}{\sqrt{3a_n+4}+4}=\frac{3|a_n-4|}{\sqrt{3a_n+4}+4} \]
$a_n>0$ より $\sqrt{3a_n+4}>2$ であるから $\sqrt{3a_n+4}+4>6$．よって
\[ |a_{n+1}-4|\leqq\frac{3}{6}|a_n-4|=\frac{1}{2}|a_n-4| \]
(2) (1) を繰り返し用いると
\[ 0\leqq|a_n-4|\leqq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}|a_1-4|=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]
右辺は $0$ に収束するから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=4$
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