|aₙ−α| を評価して極限を求める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: |aₙ−α| を評価して極限を求める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|a_{n+1}-2|\leqq\dfrac{1}{2}|a_n-2|$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 漸化式から $a_n>0$ である．
\[ |a_{n+1}-2|=\left|\sqrt{a_n+2}-2\right|=\frac{|a_n+2-4|}{\sqrt{a_n+2}+2}=\frac{|a_n-2|}{\sqrt{a_n+2}+2} \]
$\sqrt{a_n+2}+2>2$ であるから $|a_{n+1}-2|\leqq\dfrac{1}{2}|a_n-2|$
(2) (1) を繰り返し用いると
\[ 0\leqq|a_n-2|\leqq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}|a_1-2|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\to 0$ であるから，はさみうちの原理より $|a_n-2|\to 0$
よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2$
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