連立漸化式の極限（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 連立漸化式の極限（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a_1=2$，$b_1=1$，
\[ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\qquad b_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}{4}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \]
で定められる数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ について
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_n+2b_n$ は $n$ によらず一定であることを示せ．
\item[(2)] $a_n$，$b_n$ を $n$ の式で表し，極限を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $a_{n+1}+2b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}+\dfrac{a_n+3b_n}{2}=a_n+2b_n$
よって $a_n+2b_n=a_1+2b_1=4$ で一定である．
(2) $a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{2(a_n+b_n)-(a_n+3b_n)}{4}=\dfrac{1}{4}(a_n-b_n)$
よって $a_n-b_n=(a_1-b_1)\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
$a_n+2b_n=4$ と合わせて
\[ a_n=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1},\qquad b_n=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \]
よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{4}{3}$
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