連立漸化式の極限（A）

2 式を足すと $a_{n+1}+b_{n+1}=a_n+b_n$ であるから $a_n+b_n=a_1+b_1=1$ $\cdots$① 2 式を引くと $a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n-b_n)$ であるから，数列 $\{a_n-b_n\}$ は初項 $a_1-b_1=1$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列で $a_n-b_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ $\cdots$② ①，② より \[ a_n=\frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\},\qquad b_n=\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} \] よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{2}$