分数型漸化式の極限（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 分数型漸化式の極限（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a_1=3$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n-1}{a_n+2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について
\begin{enumerate}
\item[(1)] $c_n=\dfrac{1}{a_n-1}$ とおくとき，$c_{n+1}$ を $c_n$ で表せ．
\item[(2)] $a_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
$a_n>1$ ならば $a_{n+1}-1=\dfrac{3(a_n-1)}{a_n+2}>0$ であるから，$a_1=3>1$ と合わせて，すべての $n$ について $a_n>1$ である．
(1) $a_{n+1}-1=\dfrac{4a_n-1-(a_n+2)}{a_n+2}=\dfrac{3(a_n-1)}{a_n+2}$ であるから
\[ c_{n+1}=\frac{a_n+2}{3(a_n-1)}=\frac{(a_n-1)+3}{3(a_n-1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{a_n-1}=c_n+\frac{1}{3} \]
(2) (1) より，数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$，公差 $\dfrac{1}{3}$ の等差数列であるから $c_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n-1}{3}=\dfrac{2n+1}{6}$
よって $a_n=1+\dfrac{1}{c_n}=1+\dfrac{6}{2n+1}$ であり，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1$
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