分数型漸化式の極限（A）

$a_n>0$ ならば $a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}>0$ であるから，$a_1=1>0$ と合わせて，すべての $n$ について $a_n>0$ である．よって $a_n+2\neq 0$，$a_n+1\neq 0$ (1) $a_{n+1}-2=\dfrac{3a_n+2-2(a_n+2)}{a_n+2}=\dfrac{a_n-2}{a_n+2}$ \[ a_{n+1}+1=\frac{3a_n+2+(a_n+2)}{a_n+2}=\frac{4(a_n+1)}{a_n+2} \] よって $b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac{1}{4}b_n$ (2) (1) より，数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=\dfrac{1-2}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$，公比 $\dfrac{1}{4}$ の等比数列であるから $b_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$ $b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n+1}$ より $(1-b_n)a_n=2+b_n$．$b_n<0$ より $1-b_n\neq 0$ であるから，$a_n=\dfrac{2+b_n}{1-b_n}$ となり \[ a_n=\frac{2-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}=\frac{2-\dfrac{2}{4^n}}{1+\dfrac{2}{4^n}}=\frac{2\cdot 4^n-2}{4^n+2} \] $b_n\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2+0}{1-0}=2$