隣接3項間漸化式の極限（B）

漸化式を変形すると \[ a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{3}(a_{n+1}-a_n) \] 数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=1$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから $a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}=1+\frac{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}{\dfrac{4}{3}}=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] これは $n=1$ のときも成り立つ． $\left|-\dfrac{1}{3}\right|<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{7}{4}$ （別解：漸化式は $3a_{n+2}+a_{n+1}=3a_{n+1}+a_n$ と変形できるから，$3a_{n+1}+a_n=3a_2+a_1=7$ である．よって $a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{7}{3}$ であり，これは $a_{n+1}-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{1}{3}\left(a_n-\dfrac{7}{4}\right)$ と変形できる．数列 $\left\{a_n-\dfrac{7}{4}\right\}$ は初項 $a_1-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{3}{4}$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから，$a_n=\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ となる．）