隣接3項間漸化式の極限（A）

漸化式を変形すると \[ a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1}-a_n) \] 数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=1$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから $a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ $n\geqq 2$ のとき \[ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}=\frac{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\} \] これは $n=1$ のときも成り立つ． $\left|-\dfrac{1}{2}\right|<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{3}$ （数直線上で，$a_{n+2}$ は $a_n$ と $a_{n+1}$ の中点である．下図）