aₙ₊₁=paₙ+q の極限（B）

$\alpha=-\dfrac{1}{3}\alpha+4$ を満たす $\alpha$ は $\alpha=3$ である．漸化式から $\alpha=-\dfrac{1}{3}\alpha+4$ を引くと \[ a_{n+1}-3=-\frac{1}{3}(a_n-3) \] 数列 $\{a_n-3\}$ は初項 $a_1-3=-1$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから \[ a_n=3-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] $\left|-\dfrac{1}{3}\right|<1$ より $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=3$ （下図のように，$a_n$ は $3$ の両側を交互にとりながら $3$ に近づく．）