aₙ₊₁=paₙ+q の極限（A）

$\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3$ を満たす $\alpha$ は $\alpha=6$ である．漸化式から $\alpha=\dfrac{1}{2}\alpha+3$ を引くと \[ a_{n+1}-6=\frac{1}{2}(a_n-6) \] 数列 $\{a_n-6\}$ は初項 $a_1-6=-5$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから \[ a_n=6-5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=6$ （下図のように，直線 $y=\dfrac{1}{2}x+3$ と $y=x$ を使って $a_1,\ a_2,\ \cdots$ を順に作図すると，交点の $x$ 座標 $6$ に近づくようすがわかる．）