{rⁿ} 型の数列が収束する x の範囲（A）

無限等比数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は $-1<r\leqq 1$ であり，極限値は $-1<r<1$ のとき $0$，$r=1$ のとき $1$ である． (1) $-1<2x-1\leqq 1$ より $0<x\leqq 1$ 極限値は，$0<x<1$ のとき $0$，$x=1$ のとき $1$ (2) $-1<x^2-2x\leqq 1$ を解く． $x^2-2x>-1$ より $(x-1)^2>0$ すなわち $x\neq 1$ $x^2-2x\leqq 1$ より $1-\sqrt{2}\leqq x\leqq 1+\sqrt{2}$ よって $1-\sqrt{2}\leqq x<1,\ 1<x\leqq 1+\sqrt{2}$ 極限値は，$x=1\pm\sqrt{2}$ のとき $x^2-2x=1$ より $1$，それ以外のとき $0$（下図）