rⁿ を含む極限（r で場合分け）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: rⁿ を含む極限（r で場合分け）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を調べよ．ただし，(3) の $r$ は正の定数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4^n-3^n}{2^{2n+1}+1}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n+3^{n-1}}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}+2}{r^n+1}$
\end{enumerate}
(1) $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$ である．分母・分子を $4^n$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}{2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}=\frac{1}{2} \]
(2) 分母・分子を $3^n$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\dfrac{1}{3}}=3 \]
(3) $0<r<1$ のとき $r^n\to 0$ であるから，極限は $\dfrac{0+2}{0+1}=2$
$r=1$ のとき，数列の各項は $\dfrac{3}{2}$ であるから，極限は $\dfrac{3}{2}$
$r>1$ のとき，分母・分子を $r^n$ で割ると $\dfrac{r+\dfrac{2}{r^n}}{1+\dfrac{1}{r^n}}$ で，$\dfrac{1}{r^n}\to 0$ より極限は $r$
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