rⁿ を含む極限（r で場合分け）（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: rⁿ を含む極限（r で場合分け）（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を調べよ．ただし，(3) の $r$ は実数の定数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+5^n}{5^{n-1}-3^n}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{r^{2n}}{1+r^{2n}}$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $3^n$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}{1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=\frac{1-0}{1+0}=1 \]
(2) 分母・分子を $5^n$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{2\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+1}{\dfrac{1}{5}-\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}=\frac{1}{\dfrac{1}{5}}=5 \]
(3) $r^{2n}=(r^2)^n$ であることに注意する．
$|r|<1$ のとき $r^{2n}\to 0$ であるから，極限は $\dfrac{0}{1+0}=0$
$|r|=1$ のとき $r^{2n}=1$ であるから，極限は $\dfrac{1}{2}$
$|r|>1$ のとき，分母・分子を $r^{2n}$ で割ると $\dfrac{1}{\dfrac{1}{r^{2n}}+1}$ で，$\dfrac{1}{r^{2n}}\to 0$ より極限は $1$
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