n 乗根の極限（二項定理で評価）（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: n 乗根の極限（二項定理で評価）（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $h_n=\sqrt[n]{2}-1$ とおく．$2=(1+h_n)^n\geqq 1+nh_n$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2^n+5^n\right)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\sqrt[n]{2}>1$ より $h_n>0$．二項定理により $2=(1+h_n)^n\geqq 1+nh_n$ であるから
\[ 0<h_n\leqq\frac{1}{n} \]
はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}h_n=0$ すなわち $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$
(2) $5^n<2^n+5^n<5^n+5^n=2\cdot 5^n$ であるから，各辺の $\dfrac{1}{n}$ 乗をとって
\[ 5<\left(2^n+5^n\right)^{\frac{1}{n}}<5\cdot 2^{\frac{1}{n}} \]
(1) より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}5\cdot 2^{\frac{1}{n}}=5$．はさみうちの原理より，極限は $5$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます