n 乗根の極限（二項定理で評価）（A）

(1) $n\geqq 2$ のとき $\sqrt[n]{n}>1$ であるから $a_n>0$．二項定理により \[ n=(1+a_n)^n=1+na_n+\frac{n(n-1)}{2}a_n^2+\cdots+a_n^n>\frac{n(n-1)}{2}a_n^2 \] よって $a_n^2<\dfrac{2}{n-1}$．$a_n>0$ であるから $0<a_n<\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$ (2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2}{n-1}}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}(1+a_n)=1$