二項定理で評価して rⁿ と n の比較（B）

$n\geqq 3$ のとき，二項定理により \[ 3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k\,2^k>{}_n\mathrm{C}_3\cdot 2^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot 8=\frac{4}{3}n(n-1)(n-2) \] よって $n\geqq 3$ のとき \[ 0<\frac{n^2}{3^n}<\frac{3n^2}{4n(n-1)(n-2)}=\frac{3n}{4(n-1)(n-2)} \] 右辺の分母・分子を $n^2$ で割ると $\dfrac{\dfrac{3}{n}}{4\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}\to 0$ はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=0$