二項定理で評価して rⁿ と n の比較（A）

$n\geqq 2$ のとき，二項定理により \[ 2^n=(1+1)^n={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n>{}_n\mathrm{C}_2=\frac{n(n-1)}{2} \] よって $n\geqq 2$ のとき \[ 0<\frac{n}{2^n}<\frac{n}{\dfrac{n(n-1)}{2}}=\frac{2}{n-1} \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n-1}=0$ であるから，はさみうちの原理より \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0 \]