はさみうちの原理（有界な数列）（B）

(1) $0\leqq\sin^2 n\leqq 1$ であるから $0\leqq\dfrac{\sin^2 n}{\sqrt{n}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$ であるから，はさみうちの原理より極限は $0$ (2) 分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{2-\dfrac{\cos n}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}$ $-1\leqq\cos n\leqq 1$ であるから $-\dfrac{1}{n}\leqq\dfrac{\cos n}{n}\leqq\dfrac{1}{n}$ で，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0$ よって，極限は $2$