はさみうちの原理（有界な数列）（A）

(1) $-1\leqq\cos n\leqq 1$ であるから \[ -\frac{1}{n}\leqq\frac{\cos n}{n}\leqq\frac{1}{n} \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0$（下図） (2) 分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{1+\dfrac{2\sin n}{n}}{3-\dfrac{1}{n}}$ $-1\leqq\sin n\leqq 1$ であるから $-\dfrac{2}{n}\leqq\dfrac{2\sin n}{n}\leqq\dfrac{2}{n}$ で，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{2}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0$ であるから，(1) と同様にはさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2\sin n}{n}=0$ よって，極限は $\dfrac{1}{3}$