√ を含む極限が有限になる係数（B）

$an+b-\sqrt{n^2+4n}=n\left(a+\dfrac{b}{n}-\sqrt{1+\dfrac{4}{n}}\right)$ であり，括弧内は $a-1$ に収束する． $a\neq 1$ とすると，この式は $\infty$ または $-\infty$ に発散するから，$a=1$ が必要である． $a=1$ のとき \[ n+b-\sqrt{n^2+4n}=b+\frac{n^2-(n^2+4n)}{n+\sqrt{n^2+4n}}=b-\frac{4}{1+\sqrt{1+\dfrac{4}{n}}}\to b-2 \] $b-2=1$ より $b=3$ よって $a=1$，$b=3$