和の公式を使ってから求める極限（B）

(1) $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1 \] (2) $1^3+2^3+\cdots+n^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2(n+1)^2}{4n^4}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2=\frac{1}{4} \] (3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(n+2)}{3n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)=\frac{1}{3} \]