和の公式を使ってから求める極限（A）

(1) $1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2} \] (2) $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \] (3) $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$ であるから，和は \[ \frac{1}{2}\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) \] よって，極限は $\dfrac{1}{2}$