有理化して求める数列の極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 有理化して求める数列の極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．ただし，(2) では $n\geqq 4$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}\right)$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n-\sqrt{n^2-4n}\right)$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)$
\end{enumerate}
(1) $\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\dfrac{(n^2+n)-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}$
分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}}\to\dfrac{2}{2}=1$
(2) $n-\sqrt{n^2-4n}=\dfrac{n^2-(n^2-4n)}{n+\sqrt{n^2-4n}}=\dfrac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}$
分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{4}{1+\sqrt{1-\dfrac{4}{n}}}\to\dfrac{4}{2}=2$
(3) $\sqrt{4n^2+n}-2n=\dfrac{(4n^2+n)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\dfrac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}$
分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{1}{\sqrt{4+\dfrac{1}{n}}+2}\to\dfrac{1}{4}$
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