有理化して求める数列の極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 有理化して求める数列の極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)$
\end{enumerate}
(1) 分子を有理化すると
\[ \sqrt{n^2+3n}-n=\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+1} \]
よって，極限は $\dfrac{3}{1+1}=\dfrac{3}{2}$
(2) 分母を有理化すると $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ であるから，$\infty$ に発散する．
(3) 有理化すると $\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)=\dfrac{\sqrt{n}\{(n+2)-n\}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$
分母・分子を $\sqrt{n}$ で割ると $\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1}$
よって，極限は $\dfrac{2}{2}=1$
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