最高次の項で割って求める数列の極限（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 最高次の項で割って求める数列の極限（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の数列の極限を調べよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-n}{1-2n^3}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(3n-1)}{n^2+1}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n^2-5n)$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n+3}$
\item[(5)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos n\pi$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $n^3$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{4-\dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{1}{n^3}-2}=\frac{4}{-2}=-2 \]
(2) 分母・分子を $n^2$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\left(3-\dfrac{1}{n}\right)}{1+\dfrac{1}{n^2}}=6 \]
(3) $n^2-5n=n^2\left(1-\dfrac{5}{n}\right)$ で，$n^2\to\infty$，$1-\dfrac{5}{n}\to 1$ であるから $\infty$ に発散する．
(4) 分母・分子を $n$ で割ると $\dfrac{\dfrac{1}{n}-n}{1+\dfrac{3}{n}}$ で，分子 $\to -\infty$，分母 $\to 1$ であるから $-\infty$ に発散する．
(5) $\cos n\pi=(-1)^n$ であるから，数列は $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \cdots$ となり振動する．極限はない．
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