最高次の項で割って求める数列の極限（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 最高次の項で割って求める数列の極限（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の数列の極限を調べよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n}{2n^2+5}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2+2}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-1}{2n^2+n}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n-3n^2)$
\item[(5)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n n}{n+1}$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子を $n^2$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{3-\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{5}{n^2}}=\frac{3}{2} \]
(2) 分母・分子を $n^2$ で割ると
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{2}{n^2}}=\frac{0}{1}=0 \]
(3) 分母・分子を $n^2$ で割ると $\dfrac{n-\dfrac{1}{n^2}}{2+\dfrac{1}{n}}$ で，分子 $\to\infty$，分母 $\to 2$ であるから $\infty$ に発散する．
(4) $2n-3n^2=n^2\left(\dfrac{2}{n}-3\right)$ で，$n^2\to\infty$，$\dfrac{2}{n}-3\to -3$ であるから $-\infty$ に発散する．
(5) $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\to 1$ であるから，$n$ が偶数のときは $1$ に，奇数のときは $-1$ に近づく．よって振動し，極限はない．
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