分数関数を繰り返し合成した関数（B）

$x>0$ のとき $f(x)>0$ であるから，すべての自然数 $n$ について $f_n(x)>0$ であり，以下の分母はすべて 0 にならない． (1) $f_2(x)=f(f_1(x))=\dfrac{2\cdot\dfrac{2x}{x+1}}{\dfrac{2x}{x+1}+1}=\dfrac{4x}{2x+(x+1)}=\dfrac{4x}{3x+1}$ $f_3(x)=f(f_2(x))=\dfrac{2\cdot\dfrac{4x}{3x+1}}{\dfrac{4x}{3x+1}+1}=\dfrac{8x}{4x+(3x+1)}=\dfrac{8x}{7x+1}$ (2) $f_1(x)=\dfrac{2x}{x+1}$，$f_2(x)=\dfrac{4x}{3x+1}$，$f_3(x)=\dfrac{8x}{7x+1}$ より，分子の係数は $2^n$，分母の $x$ の係数はそれより 1 小さいから \[ f_n(x)=\frac{2^nx}{(2^n-1)x+1} \] と推測できる．この式を ① とし，① がすべての自然数 $n$ について成り立つことを数学的帰納法で示す． [1] $n=1$ のとき ① の右辺は $\dfrac{2x}{(2-1)x+1}=\dfrac{2x}{x+1}$ であり，$f_1(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ であるから，① は成り立つ． [2] $n=k$ のとき ① が成り立つと仮定すると　$f_k(x)=\dfrac{2^kx}{(2^k-1)x+1}$ $n=k+1$ のときを考えると \[ f_{k+1}(x)=f(f_k(x))=\frac{2\cdot\dfrac{2^kx}{(2^k-1)x+1}}{\dfrac{2^kx}{(2^k-1)x+1}+1}=\frac{2^{k+1}x}{2^kx+(2^k-1)x+1}=\frac{2^{k+1}x}{(2^{k+1}-1)x+1} \] よって，$n=k+1$ のときにも ① は成り立つ． [1]，[2] により，① はすべての自然数 $n$ について成り立つ． したがって　$f_n(x)=\dfrac{2^nx}{(2^n-1)x+1}$